男生追女生的數學模型（男生追女生的超強數學建模分析）

問題分析

男生追女生，對男生來說最重要的是學習、愛情兩不誤。因此我們引進男生的學業成績函數Y(t)。

首先，我們不考慮男生的追求攻勢，則影響該函數的因素主要是兩個人的關係程度。為了便於分析，我們將兩人的關係簡化為女生對該男生的疏遠度，於是引入疏遠度函數X(t)。

問題就轉化為求解Y(t)和X(t)的相互作用關係。利用微分，很容易就可以求出兩者的關係。但現實中男生可能會對該女生發起一輪輪的追求攻勢，因此還要考慮到追求攻勢對模型的影響。而追求攻勢又與女生的疏遠度有關，可以簡化地將兩者看成是正比關係。將追求攻勢加入到模型中，就可以找出攻勢與Y(t)和 X(t)的關係了。

模型假設t時刻A君的學業成績為Y(t)；t時刻B女對A君的疏遠度為X(t)；當A君沒開始追求B女時B女對A君的疏遠度增長（平時發現的A君的不良行為）符合Malthus模型，即dX/dt=aX(t)其中a為正常數。當Y(t)存在時，單位時間內減少X(t)的值與X(t)的值成正比，比例常數為b，從而 dX(t)/dt=aX(t)-bX(t)Y(t)。A君發起對B女追求後，立即轉化為B女對A君的好感，並設定轉化係數為 α，而隨着的A君發起對B女的追求，A君學業的自然下降率與學業成績成正比，比例係數為e。於是有dY(t)/dt=αbX(t)Y(t)-eY(t)。

模型構成

由假設4和假設5，就得到了學業與疏遠度在無外界干擾的情況下互相作用的模型：

{dX(t)/dt=aX-bXY；dY(t)/dt=cXY-eY} 其中c=αb. (1)

這是一個非線性自治系統，為了求兩個數X與Y的變化規律，我們對它作定性分析。令{aX-bXY=0；cXY-eY=0} 解得系統(1)的兩個平衡位置為：O(0,0)，M (e/c,a/b)。從(1)的兩方程中消去dt，分離變量可求得首次積分：

F(X,Y)=cX-dln|X|-aln|Y|=k (2)

容易求出函數F(X,Y)有唯一駐點為M(e/c,a/b)。再用極值的充分條件判斷條件可以判斷M是F的極小值點。同時易見，當X→∞（B女對A君恨之入骨）或Y→∞ （A君是一塊只會學習的木頭）時均有F→∞；而X→0（A君作了變形手術，B女對他毫無防備）或Y→0（A君不學無術，絲毫不學習）時也有F→∞。

由此不難看出，在第一象限內部連續的函數z=F(X,Y)的圖形是以M為最小值點，且在第一卦限向上無限延伸的曲面，因而它與z=k(k＞0)的交線在相平面 XOY的投影F(X,Y)=k (k＞0)是環繞點M的閉曲線簇。這說明學業成績和疏遠度的指數成周期性變化。

結果解釋

從生態意義上看這是容易理解的，當A君的學習成績Y(t)下降時，B女會疏遠 A君，疏遠度X(t)上升；於是A君就又開始奮發圖強，學習成績Y(t)又上升了。於是B女就又和A君開始了來往，疏遠度X(t)又下降了。與B女交往多了，當然分散了學習時間，A君的學習成績Y(t)下降了。

然而我們可證明，儘管閉軌線不同，但在其周期內的X和Y的平均數量都分別是一常數，而且恰為平衡點M的兩個坐標。事實上，由(1)的第二個方程可得： dY/Ydt=cX- e,兩端在一個周期時間T內積分，得：

∫(dy/Ydt)dt=c∮Xdt-dT (3)

注意到當t經過一個周期T時，點(X,Y)繞閉軌線運行一圈又回到初始點，從而：∫(dY/Ydt)dt=∮dY/Y=0。所以，由(3)式可得： (∫Xdt)/T=e/c。

同理，由(1)的第一個方程可得：(∫Ydt)/T=a/b。

模型優化

考慮到追求攻勢對上述模型的影響。設追求攻勢與該時刻的疏遠度成正比，比例係數為h，h反映了追求攻勢的作用力。在這種情況下，上述學業與疏遠度的模型應變為：

{dX/dT=aX-bXY-hX=(a-h)X-bXY；dY/dt=cXY-eY-hY=cXY-(e+h)Y} (4)

將(4)式與(1)式比較，可見兩者形式完全相同，前者僅是把(1)中X與Y的係數分別換成了a-h與e+h。因此，對(4)式有

x』=(∫Xdt)/T=(e+h)/c，y』=(∫Ydt)/t=(a-h)/b (5)

利用(5)式我們可見：攻勢作用力h的增大使X』增加，Y』減少。

我們的建議

考試期間，由於功課繁忙，使得追求攻勢減少，即h減小，與平時相比，將有利於學業成績Y的增長。這就是Volterra原理。 此原理對男生有着重要的指導意義：強大的愛情攻勢有時不一定能達到滿意的效果，反而不利與學業的成長；有時通過慢慢接觸，慢慢了解，再加上適當的追求行動，女生的疏遠度就會慢慢降低。學習成績也不會降低！

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